百里路  /  金融 · 数学 · 风险 № 078
LESSON 078 · FINANCE

布莱克-斯科尔斯期权定价模型

The Black–Scholes–Merton Model · 一份期权的价格里，没有"它会涨还是会跌"
提出者
布莱克 · 斯科尔斯 · 默顿
年份
1973
领域
金融 · 数学 · 风险
核心命题
不预测方向，只计算复制的成本
一 缘起 · 一个被两家期刊退掉的公式 ORIGIN

期权是一份很老的合约：我付你一笔钱，换来一个权利——将来某一天，我可以按某个约定的价格向你买入（或卖给你）某样东西；到时候我可以用，也可以不用。荷兰的郁金香、大阪的米市、十九世纪的伦敦股票经纪都在做这门生意。麻烦的只有一件事：这份权利到底该值多少钱，几百年里没有人能说清楚。

不是没人试过。1900 年，法国人巴施利耶在他的博士论文里就用随机游走给期权定过价——比爱因斯坦写布朗运动早五年（见 №060），然后被埋了半个世纪。二十世纪五六十年代，萨缪尔森一派把它挖出来重做，得到的公式却总要用到一个谁也说不准的数：这只股票将来的预期收益率，还得再拧一个"投资者有多厌恶风险"的旋钮。两个旋钮都靠猜，于是算出来的价格也就只是一个被精心包装过的猜测。

1969 年，两个在波士顿的人开始琢磨这件事。费希尔·布莱克（1938–1995）是应用数学博士出身，当时在一家咨询公司做事，性格孤僻、极度重视清晰；迈伦·斯科尔斯刚从芝加哥拿到博士到麻省理工任教。他们发现，如果把股票和期权按某个比例组合起来，组合的价值在一瞬间竟然完全不受股价小幅波动的影响——那么按照"不存在无风险的免费午餐"这条铁律，这个组合的回报就只能等于无风险利率。顺着这条线写下方程，那个最讨厌的东西自己消失了：预期收益率不见了，风险偏好也不见了。

他们把论文投给《政治经济学杂志》，连评审都没进就被退了回来；再投《经济学与统计学评论》，又被退。芝加哥的默顿·米勒和尤金·法马读到后认为这东西被低估了，出面向《政治经济学杂志》推荐，稿子才被重新受理，1973 年五六月号刊出。

与此同时，麻省理工的罗伯特·C·默顿用连续时间随机分析给出了另一条更严格的推导路径，并把结论推广得更远。有一个细节值得记住：默顿主动推迟了自己论文的发表，为的是让布莱克和斯科尔斯那篇先出来；而"布莱克-斯科尔斯模型"这个名字，恰恰是他起的。

1973 年 4 月 26 日，就在论文印出来的一个多月前，芝加哥期权交易所（CBOE）开门营业——人类第一个标准化期权的交易所。第一天成交 911 张合约，标的只有 16 只股票，而且只有看涨期权。一个公式和一个市场，在同一个春天出现。1997 年诺贝尔经济学奖授予斯科尔斯与默顿；布莱克已于 1995 年 8 月 30 日因喉癌去世，瑞典皇家科学院在公告中反复提到他的名字。

二 原典 · 一个公式，和一个论证 THE PRIMARY TEXT

这一课的两块地基，一块是那个被印在无数教科书上的公式，另一块是撑住它的那个论证——而真正重要的是后者。

BLACK & SCHOLES, 1973 · 欧式看涨期权的价格
C = S·N(d₁) − K·e−rT·N(d₂)

其中 d₁ = [ ln(S/K) + (r + σ²/2)·T ] / (σ√T)，  d₂ = d₁ − σ√T，N(·) 为标准正态分布的累积函数。

五个输入：S 当前股价、K 行权价、T 剩余期限、r 无风险利率、σ 波动率。

请注意这里没有什么：没有股票的预期收益率，没有投资者的风险偏好，没有任何关于"它会涨还是会跌"的判断。
两个看法完全相反的人，只要对波动率的估计一致，就必须给出同一个价格。
Fischer Black & Myron Scholes《The Pricing of Options and Corporate Liabilities》，Journal of Political Economy 81(3), May–June 1973, pp.637–654。原文假设：股价服从几何布朗运动、σ 与 r 已知且恒定、无股息、可连续交易、无交易成本与税、可无限借贷与卖空、不存在无风险套利机会。

为什么预期收益率会消失？因为这套推导根本不打算预测未来，它打算造一个赝品。

MERTON, 1973 · 复制与无套利（THE REPLICATION ARGUMENT）
用一定数量的股票加上一笔借贷，可以构造一个组合，只要不断按规则调整持股比例，它在任何时刻的价值变化都与那份期权完全相同。

既然它们的未来收益处处相同，那么在不存在无风险套利的市场里，它们此刻的价格必须相同。

于是定价问题被换成了另一个问题：不是"这份权利值多少"，而是"把它复制出来要花多少钱"。
前者需要预测，后者只需要计算。
Robert C. Merton《Theory of Rational Option Pricing》，Bell Journal of Economics and Management Science 4(1), Spring 1973, pp.141–183。以上为其连续时间复制论证的转述，非逐字翻译。二人此前另有一篇实证检验：Black & Scholes《The Valuation of Option Contracts and a Test of Market Efficiency》，Journal of Finance 27(2), 1972, pp.399–417。
三 释义 · 你不是在算命，你是在报价 PLAIN MEANING

假设有人请你卖给他这样一份承诺：一年后，他有权按每股 100 元从你手里买走一股某公司的股票——买不买由他定。今天股价也是 100 元。这份承诺你收多少钱？

直觉的做法是去预测：这家公司明年会不会涨？涨的概率多大？而这条路会把你带进一片沼泽——你的预测和买方的预测必然不同，谁也说服不了谁，最后价格只能靠讨价还价，而不是靠计算。

布莱克与斯科尔斯换了一条路。他们不问"它会不会涨"，他们问："如果我不得不兑现这个承诺，我该怎么准备？"

答案是：现在就先买一部分股票放着。股价涨，你手上那部分股票也在涨，正好抵掉你将来要赔的；股价跌，你就卖掉一些。涨得越多，你手里就该拿得越满（因为他行权的可能性越大）；跌到很深，你就几乎可以清空（因为这份权利多半会作废）。这套"随涨买、随跌卖"的动作，可以把那份承诺一点一点地造出来。而这套动作要花多少钱，是可以算的。

于是期权的价格不再是一个预言，
而是一份制造成本报价。
就像你不需要预测明年的房价，
也能算出盖这栋房子要多少水泥、多少钢筋、多少工。

这就是"预期收益率消失"的全部原因：无论这只股票将来是涨是跌，你都在做同一套动作，涨了多买、跌了多卖，成本一样。它涨得多，你赔得多，但你手里的股票也多；两边相抵，方向不重要了。

方向不重要，那什么重要？——晃得厉害不厉害。股价越是上蹿下跳，你在那套"追涨杀跌"的动作里来回摩擦的损耗就越大，复制的成本就越高。所以五个输入里，四个（股价、行权价、期限、利率）都能在报纸上查到，只有一个查不到：波动率 σ。

这个不对称造就了这套模型最深远的一件后事。既然只有 σ 看不见，那就干脆把公式倒过来用：拿市场上真实成交的期权价格塞回公式，反解出那个 σ——这就是隐含波动率。从此，"这份期权贵不贵"这个含糊的问题，被翻译成了一个所有人都能比较的数字。

这一步的意义，可能比公式本身还大：它给了整个行业一门共同语言。交易员之间从此不报价格，报波动率。而这门语言，很快就被用来说出一句模型自己听不懂的话——见案例 03。

四 后人之论 LATER INTERPRETATIONS
爱德华·索普 1967 · 那个发现了却没有发表的人

索普是数学家，先用概率击穿了二十一点，又把同一套思路搬进华尔街。1967 年他与卡索夫合著《打败市场》，书里已经写出了一套用股票对冲权证、按比例动态调仓的做法——正是复制论证的实务版本。据其本人后来的叙述，他在六十年代末就掌握了一个与后来的公式等价的定价式，并从 1969 年起把它用在自己的基金里。

他没有发表。他拿它去赚钱了。

这一卡的分量不在优先权之争（那笔账很难算清），而在它给出的对照：一个想法能不能改变世界，取决于它有没有被写下来、被证明、被放到所有人都能用的地方。索普赚到了钱，布莱克他们得到了一个以自己名字命名的时代。顺带一提，索普也是把凯利公式（№008）真正用进金融市场的第一批人——本篇管"这份合约值多少"，那篇管"押多大"，两件事必须一起做。

马克·鲁宾斯坦 1981/1994 · 先把它卖给整个市场，再研究它留下的伤口

鲁宾斯坦是伯克利的金融学教授，也是最早把复制论证从"给期权定价"推向"给整个组合上保险"的人。1981 年他与同事利兰、投资顾问奥布赖恩创办 LOR 公司，出售组合保险：不去买真的看跌期权，而是按模型自己动态地买卖股指期货，把那份保护"造"出来。

1987 年 10 月之后，同一个人成了研究崩盘后遗症最重要的学者之一。1994 年他发表《隐含二叉树》，系统记录了一件怪事：崩盘之前，不同行权价倒推出来的隐含波动率大体是平的；崩盘之后，它再也没有平过。

这条人物线本身就是本篇最好的注脚：他先把动态复制卖给了整个市场，那场集体卖出成了崩盘的加速器，而崩盘造出的那道"微笑"，又成了他后半生的研究对象。

埃马纽埃尔·德曼 1990s–2011 · 模型不是理论，是类比

德曼是理论物理博士，八十年代进高盛，是第一代"宽客"。他与卡尼提出的局部波动率模型，是修补微笑最有影响的尝试之一：既然市场说 σ 不是常数，那就让 σ 随股价与时间变化，再从市场价格反推出这张"波动率曲面"。

但他写过的最要紧的一段话与技术无关。在《模型思维的失败》里他坚持区分三样东西：理论（麦克斯韦方程组那种，它就是那件事本身）、模型（一个类比：把 A 想象成 B）、直觉。金融里没有理论，只有模型。而模型的危险在于，用久了人会忘记那个"想象成"。

他给出的判据很实用：永远说得出你的模型把什么东西比作了什么，以及这个比喻在哪里最先失效。说不出来的人，是在用一个自己不理解的东西下注。

唐纳德·麦肯齐 2003/2006 · 引擎，而不是照相机

麦肯齐是爱丁堡的社会学家，他问了一个经济学家不太问的问题：这个模型被广泛使用，本身改变了它所描述的那个市场吗？

他与米洛翻查芝加哥期权交易所的历史，得出的结论是肯定的。CBOE 刚开张时，真实成交价与模型价偏离颇大；随着模型被印成表格带上交易池、被装进计算器、被监管与同行当作参照，市场价格逐步向模型收敛——不是因为模型说对了世界原本的样子，而是因为足够多的人开始照着它行动。

他把这类现象叫作述行性（performativity）：经济学不只是一台照相机，也是一台引擎。而 1987 年之后，收敛反转成了发散——同一台引擎也可以反着转。这条与 №019 自我实现的预言 是同一台发动机，只是这次被自我实现的，是一个方程。

五 案例 CASE STUDIES
案例 01 一个公式和一个市场，同一个春天 芝加哥 · 1973

1973 年 4 月 26 日，芝加哥期权交易所开门。第一天成交 911 张合约，标的 16 只股票，只有看涨期权。一个多月后，那篇被两家期刊退过稿的论文才印出来。

接下来发生的事很少有理论遇得上：布莱克开始向场内交易员出售印好的理论价格表——一张纸，上面是不同股价、不同期限下公式给出的价格，人站在交易池里可以直接查。此后，把公式装进手持计算器的产品也出现了。一个抽象的连续时间随机模型，用几周时间变成了一件可以拿在手上的工具。

这里有一件容易被浪漫化的事需要说清楚：不是这个公式创造了期权市场，而是这个市场恰好在那一刻需要一个公式。标准化交易所刚刚诞生，成千上万份合约需要一个共同的定价参照，否则没人敢做市。一个理论的命运，有相当一部分不取决于它有多对，而取决于它出现的时候，世界是否刚好空着那个位置。如果 CBOE 晚开十年，这可能只是一篇被退过两次稿的论文。
案例 02 理论把市场变成了自己的样子 MacKenzie & Millo · 2003

麦肯齐与米洛做了一件很朴素的事：把 CBOE 早期的成交价与模型价逐年比对。结果是，1973 年前后两者偏离明显，此后偏离持续缩小，到八十年代中期已经相当贴合。

通常的解释是"市场变得更有效率了"。他们提出了另一半解释：模型被印成表、被写进程序、被交易员用作报价的起点、被监管机构用作合规的参照——当足够多的人拿同一把尺子量同一件东西时，被量的东西就会开始像那把尺子。

这是本篇最该带走的一层：在社会系统里，"这个模型准不准"和"这个模型被用得多不多"，不是两个独立的问题。物理学的模型不会改变电子的行为，金融学的模型会改变交易员的行为。而它的反面同样成立：一旦大家不再相信它（1987 年 10 月之后），价格立刻停止向它靠拢，并且再也没有回去。被自我实现的东西，也可以被自我瓦解。
案例 03 1987 年 10 月之后，微笑就没有消失过 黑色星期一 · 1987-10-19

模型假设波动率 σ 是一个常数。那么，同一只标的、同一个到期日、只是行权价不同的一排期权，倒推出来的隐含波动率应该完全一样。崩盘之前，大体确实如此。

1987 年 10 月 19 日，美股单日暴跌逾两成。此后，那排数字变成了一条歪斜的曲线：越是深度虚值的看跌期权，隐含波动率越高——也就是说，市场愿意为"崩盘保险"付出远超模型认为合理的价钱。人们管这条曲线叫波动率微笑（在股票指数上更像一条向下的斜坡，也叫偏斜）。它从此成了常态。

鲁宾斯坦 1994 年把这件事系统地写了下来，并指出它的直接含义：市场认为真实世界的极端下跌，比对数正态分布所允许的要多得多。

这是全篇最该记住的一个画面：交易员每天使用一个自己并不相信的公式，并且用这个公式的语言，精确地表达出自己的不相信。微笑不是模型的一个小瑕疵，它是模型最核心假设（波动率恒定、收益服从对数正态）被市场当面驳回的证据——而驳回的方式，恰恰是把它当成一门语言来用。一个工具可以在被证伪之后继续被使用几十年，只要人人都知道它错在哪、并且都用同样的方式修正它。
案例 04 当所有人同时执行同一套复制动作 组合保险 · 1981–1987

复制论证有一个漂亮的推论：既然可以把期权造出来，那就不必买期权了。利兰、奥布赖恩与鲁宾斯坦的公司据此推出"组合保险"——不买看跌期权，而是按模型在市场下跌时卖出股指期货、上涨时买回，把保护自己造出来。

它卖得极好。据当时的估计，采用这类策略的资产在 1986 年已达数百亿美元，到 1987 年秋约八百亿美元量级。

10 月 19 日，这套策略要求所有采用者做同一件事：卖出。而市场正在下跌，于是它们卖得更多，价格跌得更深，于是模型要求它们再卖。1988 年的布雷迪报告认定，组合保险不是崩盘的起因，但是重要的加速器。

模型有一条几乎从不被念出来的假设：你的交易不会影响价格。对一个人成立，对一千亿美元同时行动的人不成立。当一个复制策略被足够多的人采用，它所要复制的那个市场，就会被它自己改写。这一条是 №069 套利的限度 最锋利的一次现场演示，也是所有"人人都在用的对冲策略"共同的软肋：它在平静时完美工作，在最需要它的那一天，把所有使用者变成同一个人。
案例 05 把公式倒过来用，倒出了一个"恐慌指数" VIX · 1993 → 2003 → 至今

1993 年，惠利为芝加哥期权交易所设计了 VIX：拿平价期权的市场价格塞回布莱克-斯科尔斯公式，反解出隐含波动率，得到一个"市场预期未来三十天有多颠簸"的读数。媒体后来管它叫恐慌指数。

2003 年，方法被改写：新的 VIX 不再依赖任何具体的期权定价模型，而是把一整排不同行权价的期权价格加权求和，直接算出市场对未来方差的定价。换句话说，这个指数长大之后，把生它的那个模型丢掉了。

而这套定价语言最终撑起了多大的东西：据国际清算银行统计，2025 年 6 月末全球场外衍生品的名义本金余额约为 846 万亿美元，同比增长 16%；同期总市值约 21.8 万亿美元。（名义本金远大于真实风险敞口，两个数字的差距本身就值得看一眼。）

一个模型最持久的遗产，往往不是它算出的那些价格，而是它逼着所有人共用的那个变量。波动率原本是公式里最不起眼的一个输入，如今它自己成了可以被交易、被指数化、被写进新闻标题的东西。先有一个不完美的公式让人们能开口讨价还价，然后市场自己长出更好的答案——这几乎是所有工程化学问的成长路径。
六 反例与限制 CRITIQUE & LIMITS

这是本站少有的一课：它的核心假设几乎条条是假的，而它仍然是金融史上最成功的公式。这两件事必须一起说，否则不管是吹捧还是嘲笑，都会说错。

还有一条不算反例、但用它的人该知道的事：这套推导的第一步——"不存在无风险的免费午餐"——比后面所有数学都结实。无套利定价在此后半个世纪里长成了整个衍生品理论的骨架，即便布莱克-斯科尔斯的具体分布假设被换掉，那一步也照样站着。被推翻的是它对世界的描摹，不是它的推理方式。

七 相关理论 CONNECTIONS
无套利定价No-Arbitrage Pricing
⟸ 真正的地基
"两样未来收益相同的东西，今天必须同价"——整套推导的第一步，也是唯一没有被后来的实证打倒的一步。它把定价从预测问题变成了会计问题：不需要知道未来，只需要知道复制的成本。此后所有衍生品数学都长在这根骨头上。
中心极限定理与正态分布№024 Central Limit Theorem
⟸ 假设地基，也是最大软肋
"对数收益服从正态"这个假设，来自把价格变动想象成大量独立小冲击的相加。而真实市场的冲击既不独立、方差也未必有限——这正是 №024 第五条反例"正态崇拜"点名的那个坑，本篇是它最贵的一次落地。
黑天鹅与厚尾№004 Black Swan
⚠ 尾部对照
波动率微笑说的其实就是一句话：市场愿意为尾部风险付比模型多得多的钱。它是№004 在价格上留下的可测量指纹——不是哲学感慨，是一条每天都能读出来的曲线。
效率市场假说№060 Efficient Market Hypothesis
↔ 同一枚硬币
№060 说"地上的百元钞不会久留"，本篇把这句话当作公理用了一次，然后从中挤出了一个精确的价格。无套利是效率市场最有用的操作化形式：它不要求任何人聪明，只要求钱不会白白留在地上。
套利的限度№069 Limits of Arbitrage
⚠ 复制为什么会断
复制论证默认你能连续交易、能借到钱、能扛住浮亏。№069 讲的正是这三条何时集体失效。而两篇的时间感恰好相反：本篇假设市场永远接得住你，那篇证明它最接不住的时刻，正是你最需要它的时刻。
自我实现的预言№019 Self-Fulfilling Prophecy
⟷ 述行性
麦肯齐的"引擎，而不是照相机"是 №019 在学术理论层面的版本：一个被广泛使用的模型，会把世界改造得更像它自己。而 1987 年之后的发散提醒我们，这台发动机也可以反着转。
凯利公式№008 Kelly Criterion
⚖ 必须配套的另一半
本篇回答"这份合约值多少钱"，№008 回答"我该押多大"。只算对第一个问题而押错第二个，照样会破产——1998 年那场著名的崩溃，输的从来不是定价那一半。索普是同时把两件事做对的少数人之一。
希腊字母：Delta / Gamma / VegaThe Greeks
⟹ 直系产物
公式对各个输入求一次导数，就得到"股价动一点我该调多少仓""波动率动一点我赚赔多少"。今天绝大多数机构不用这个公式定价，却每天都在用它的导数管风险。一个模型最长寿的部分，常常不是它的结论，而是它逼出来的那套词汇。
八 致用 APPLICATION

先声明：以下不构成任何投资建议。第一条是这套数学的真实推论，其余四条是从它的历史里提出来的判断习惯——请当方法论借用，不要当定理引用。

九 反观三问 THREE QUESTIONS
我最近做的那个决定，是在预测方向，还是在计算成本？如果我不去猜结果，改问"要让这件事无论如何都过得去，需要准备什么"，答案会不会完全不同？
我手上那份看起来很严谨的测算，唯一靠猜的那个输入是哪一个？把它上下拨一拨，结论会翻号吗？
我的退路里，有几条是需要别人在那一刻配合我才走得通的？如果所有人在同一天想走同一条退路，它还在吗？
十 延伸阅读 FURTHER READING
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